【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】

1 :132人目の素数さん:2018/09/17(月) 01:40:43.02 ID:iDwWzM3i.net
締切りの過ぎた問題をみんなで議論しましょう。

過去スレ:
1. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/
2. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1476702312/

2 :132人目の素数さん:2018/09/17(月) 01:45:59.97 ID:iDwWzM3i

          |:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:i;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;|      解 今     |
            |;:;:_:;:_:;:_:;:_;:;_:;:l:;_;:_:;:_:;:_:;:_;:|      か  日   |
         |______|_____|      な        l
         |::::| ```````´´´´ : : : :|      か       !
         |::::|  く三)   (三シ : : :|’.      っ      /
          r=Y:f            :.ヘ’,     た     /
          |fト|:| tーt:テミヽ .ィチt:ァ‐r : |∧    ら    /
          {{ ー:l  ` ̄ ‘´   |::.ヾ ̄´ . : :|_,ハ、      /
          ヾ ー!         |::、   : : j_/ >ー‐一’´
          `¨’,       -、_;:-    : :/
              l’.    ,r===== 、   :/h
.  ,. -―‐- <. /!:.ヽ  ヾ=====’′./: j l\
/          \|: : . \.`””””´/ : / .|:.:.:.:’,、
            \   ` ー一’´:   :/  |:.:.:.:.:’,`:.ー- 、
                 ヽ     }: : ./  .|:.:.:.:.:.:’,:.:.:.:.:.:.:.:.:`:.ー- 、
               ‘.ー-   j: :/     |:.:.:.:.:.:.:’,:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.`
  必    も    明.   ’.     入    |:.:.:.:.:.:.:.:’,:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
  要   っ    日     ‘,   / / \   !\:.:.:/.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
  に   と   は     i  j./   \|:.:.:.`:ー‐┐:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
  な    大            |   j′     .!:.:.:
  る   き
  ぞ   な
        努
        力
        が

3 :132人目の素数さん:2018/09/17(月) 01:47:31.23 ID:T7a194so

削除依頼を出しました

4 :132人目の素数さん:2018/09/22(土) 20:45:35.98 ID:ztZsZpyH

みんなで答え出し合おうよ?

5 :いえやす:2018/09/23(日) 08:20:49.48 ID:n07erhZD

締切まで待とう時鳥(ほととぎす)

6 :とあるエレ解常連:2018/09/23(日) 21:38:44.11 ID:5AC0P/Sg

斥候部隊の難易度情報は欲しいところです

7 :132人目の素数さん:2018/09/24(月) 10:14:10.44 ID:PKrwWiIA

エレガントな解答なんて
無かったんや(迷言)

8 :132人目の素数さん:2018/09/24(月) 11:48:55.01 ID:C29H7b6e

出題1
 k=1 のときは見覚えのある関数だが、k≧2 は?

出題2
 ・λ∈R の中で面倒な計算をゴリゴリ敢行するか、
 ・Cまで広げてギリシャの幾何学をする

9 :とあるエレ解常連:2018/09/29(土) 08:24:23.84 ID:VpmYSTVe

>>8
ギリシャの幾何学。。
何もぼかせていない気が
だめですよーヒント過多はw

10 :132人目の素数さん:2018/10/02(火) 11:30:20.71 ID:UtBJrYlY

https://www.web-nippyo.jp/elegant/
びっくりした。問題が公開された上に、webでの解答も可になった。

11 :132人目の素数さん:2018/10/02(火) 11:55:37.97 ID:a4X/BSXV

PDF ファイルを送信かよ

で、送信した解答は公開されるのか???

12 :とあるエレ解常連:2018/10/08(月) 19:21:43.49 ID:DEaqau3L

消印締め切りまであと5時間弱です。
時間はまだたっぷりあります。ネバーギブアップで頑張っていただきたい。
要所で粘れるか、それとも簡単に諦めてしまうか、生き様が試されます。
でも今月2問を5時間で解くのははっきり言ってつらい。
私は時弘先生の大ファンですが、彼の問題は秋の行楽シーズンにはそぐわない。
他に誘惑のないじとじとする梅雨の時期、またはコタツがぬくい極寒の時期にじっくり楽しみたいものです。

>>10-11
初回はなんとなく手違いが起こりそうでpdf送信は回避しました。
答案チェックが大変になりそうですが、大丈夫なんでしょうか。

13 :132人目の素数さん:2018/10/09(火) 16:31:35.34 ID:jtiWu+AA

10月号

■出題2

{z, w} を固定したとき lim(λ→±∞) |λ-z|/|λ-w| = 1
∴ F(z, w) ≧ 1,
λは {z,w} の垂直2等分線上またはw側にある。

(1) x=u のとき
垂直2等分線は実軸Rに平行
題意より |v| >> |y| としてよい。
|λ-z|/|λ-w| < 1  (λ=x=u で最小)
F(z, w) = 1,
lim(|v|→∞) F(z, w) = 1

(2) x≠u のとき
垂直2等分線は実軸Rと交わる。
交点は λo = (x+u)/2 + (vv-yy)/(2(u-x)), 
もし最大点λがあれば(*)、λoよりもw寄り(遠方)にある。
|λ| > |λo| = O(|v|^2)
w = u + iv,
z は定数  だから
F(z, w) = |λ-z|/|λ-w| = 1+O(1/|v|)
lim(|v|→∞) F(z, w) = 1,

ところで、最大点λは存在するんだろうか?

14 :132人目の素数さん:2018/10/09(火) 17:01:52.52 ID:jtiWu+AA

>>13

> 最大点λは存在するんだろうか?

複素数ν = λ + iμ ∈C に対して
|ν-z|/|ν-w| = f の軌跡を考える。(f≧1)

f=∞ では1点w であるが、fが有限のときは wを内包する閉曲線となる。
fを減らせば閉曲線は膨らみ、f=1 では {z, w} の垂直2等分線となる。

(2) の場合、実軸Rと垂直2等分線は交わる。
fを∞から減らして行き、初めてRに接した点がλである。

ところで、λは1つしかないか?

15 :132人目の素数さん:2018/10/09(火) 17:10:07.13 ID:jtiWu+AA

>>14

> λは1つしかないか?

ν∈C と f≧1 に対して
 g(ν, f) = f^2|ν-w|^2 – |ν-z|^2 とおく。{z, w} は定点。

 g(ν, f) < 0 ⇔ νは閉曲線の内部
 g(ν, f) > 0 ⇔ νは閉曲線の外部
 g(ν, f) = 0 ⇔ νは閉曲線の周上

 g((ν1+ν2)/2, f) = {g(ν1, f) + g(ν2, f)}/2 -(ff-1)|(ν1-ν2)/2|^2 ≦ {g(ν1, f) + g(ν2, f)}/2,
より
 g(ν1, f) = g(ν2, f) =0 ⇒ g((ν1+ν2)/2, f) ≦ 0,

周上の2点 ν1, ν2 の中点は閉曲線の内部にあるので、閉曲線は凸である。
∴ 実軸Rに初めて接する点λはたた一つ。

こうしてギリシャの幾何学は回避された。ペキン原人やクロマニオン人も解けたかも(?)

16 :132人目の素数さん:2018/10/10(水) 01:20:47.39 ID:MSgGrJGx

nを一度だけ使ってってどういうことだ
a_nでもいいのか

17 :132人目の素数さん:2018/10/10(水) 07:33:10.07 ID:5PNYRsCB

はい、次の問題もう出てますよー。
https://www.web-nippyo.jp/elegant/

18 :132人目の素数さん:2018/10/10(水) 18:17:30.30 ID:yAzQ854o

ハヤイノー
電子時代ジャノー
楕円暗号理論の関連した問題はナイノカノー
格子理論はアッタガノー有限体の楕円曲線理論は美しいのーー
仕事なんかなってられんのーー
こんな美しい世界はナイノー
虚数除法も素晴らしいのーー
楕円曲線と格子理論がクロスするとこの世のものとは思えんのーー

19 :132人目の素数さん:2018/10/10(水) 18:45:51.23 ID:yAzQ854o

そうじゃ!!
ディオファントス近似絡みの問題も楽しみにしちょります。
楕円曲線、ディオファン、ガロア、格子絡み、仕事なんかおっぽりだしたくなるべ。

22 :132人目の素数さん:2018/10/11(木) 22:12:48.85 ID:OWsrvrcm

エレカ、電子公開、goodです。
高校、大学時代愛読してたが、20年前に一度再会、またまた再会。
一生縁が切れそうにないわ。
今は、数論、楕円曲線、暗号にハマってる。
ICMレポも楽しみにしてまっせ。

21 :132人目の素数さん:2018/10/11(木) 06:12:42.93 ID:dLv4Cwo1

出題2は「式より明らか」じゃいかんのかw

20 :132人目の素数さん:2018/10/10(水) 18:47:13.77 ID:yAzQ854o

そうじゃ、わたしが、サボリーマンかず太郎じゃあ。
仕事さぼって、スタバでエレカと格闘じゃ。
文句あっか!!!

23 :132人目の素数さん:2018/10/12(金) 00:40:57.27 ID:KGakS2GY

大学への数学の宿題もやりたいが、私の頭ではそこまでやると本業に支障がでそう。
自制しよう。
エレカ、数論、楕円曲線、暗号でこっそり楽しもう。
森北の暗号理論と楕円曲線も理解するのは大変だわさ。

24 :132人目の素数さん:2018/10/12(金) 00:43:44.21 ID:KGakS2GY

先程、保管してある、1980年代〜1990年代の数セミ、Bacic数学、大学への数学
ひもといてみた。なつかしいのーー。
数セミとも再再会できたし。

25 :132人目の素数さん:2018/10/12(金) 06:19:57.61 ID:YLCrdRFe

大学への数学の宿題とエレ解って、どちらの方が難しいの?

26 :132人目の素数さん:2018/10/12(金) 09:55:34.52 ID:0244Q6MN

>>21
つーか問題1は一発ネタのような気がするが。
小谷善行先生は不調なのかな?
それとも「存在しない」を証明するのが難しいのか?

「遠山 啓先生に敬意を表して、それっぽく説く」
というのもアリな気がするが。

27 :132人目の素数さん:2018/10/12(金) 13:10:52.79 ID:0244Q6MN

>>25
「荒らしに構うのも荒らし」とは云われるが、
いちおう言っとこう。
受験数学より真剣勝負の数学の研究のほうが大変なので、
傾向としては
『エレガントな解答を求む』>『大学への数学』の宿題
だが、エレ解も「いちおう解答は用意されている」し、
たまに「小手試し」的な出題もあるので、
予備校生にとってはエレ解のほうが手ごわいと思う。
まぁ、「お子ちゃま には、エレ解の味はわかんないよな(笑)」
みたいな優越感はあると思われ。

28 :132人目の素数さん:2018/10/12(金) 13:16:43.95 ID:0244Q6MN

ようやく題意がわかったように思う。
「示せ」っつーところに重点があるような気がするので
(「それは、数学的に厳密な証明なのか!?」とか
言われると、数学の博士号を取得していないと
解答できなくなる)、「一般的に納得されやすい証明」と
いうことになろうかと思う。

29 :Mr.Moto:2018/10/12(金) 17:22:58.62 ID:0244Q6MN

二〇一八年十一月号の問題1について。

四辺形以上の多角形(=多辺形)については、
凸でない場合があって、「凸多辺形」「凸多角形」という
言葉がある。それはいい。線形計画法なんかでは、
「多凸性」というのは、重要な概念だからな。
同時に、四辺形以上の多辺形については、
「辺が交差する」場合がありうる。このとき、
そういった多辺形を、なんと呼ぶべきか?
たとえばの話、五芒星や六芒星を「多辺形」と
認めるのかどうか?
また、その場合、「面積」について、二つの定義があるうる。
どちらを採用するかについて、「数学的な呼び名」、
あるいは定義というのはあるのだろうか。また、それぞれについて、
「数学的な一般的名称」というものがあるんだろうか。
あるとすれば、それは何に準拠しているのか。

そのあたりの意見を聞きたい。

30 :132人目の素数さん:2018/10/12(金) 17:49:29.41 ID:PsrGl5PI

エレカ、柏原先生、森重文先生、辻雄先生、神保先生etcも昔解答されておられます。

31 :132人目の素数さん:2018/10/12(金) 23:48:09.81 ID:0244Q6MN

>>30
> 森重文先生、
まじか。出典キボンヌ。

32 :132人目の素数さん:2018/10/13(土) 11:31:09.88 ID:m2VlRIRs

森重文先生は、京大時代に解答されておられる。エレガントな解答を求む問題集1集or2集
探してみてください。柏原先生、神保先生、辻先生は3集に、名前残してる。皆数学少年じゃったのじゃよ。

33 :132人目の素数さん:2018/10/13(土) 11:32:13.28 ID:m2VlRIRs

やっぱ、NOTE掲載を目指そう。
有限体上の楕円曲線研究で。

34 :132人目の素数さん:2018/10/13(土) 11:33:15.57 ID:G0GgdGfh

2018年10月号の講評です:

■出題1:レベル6〜7(常連正解率60〜80%)
※スツルムの定理不使用の場合レベル10(正解者0〜2名)

時弘男塾長の出題。例年通り題材は力学系。
正整数kに対し、P_0=1, P_1=x−1, P_n=x^k * P_{n−1}−P_{n−2}でP_n(x)を定め、
小問(1)x>0、(2)kを奇数としてx<0、(3)kを偶数としてx<−1における零点の個数を求める問題。

彼の問題はいつも難しく2015年は正解者たったの2名(昨年はめずらしく易しかったが)。
今回も『どうやって解くんじゃい…』とまず途方に暮れるところから始まる。

が、本問はスツルムの定理を使えば比較的簡単に解ける。
使わずに解くことを要求しているとすれば難易度はレベル10に跳ね上がる。

■出題2:レベル5(常連正解率95%)

加古先生の出題。
複素数z, w, 実数λに対してF=sup|λ−z|/|λ−w|(λ∈R)と定めたとき、
Im(w)の絶対値を∞に飛ばすとFはどうなるか?という問題。

・各複素数の実部虚部を適切に限定して、問題をほぐす。
・素直にFの挙動を調べて極限を考える
という正攻法で解けるので難易度は高くない。

エレガントに解くことを至上命題と考えている猛者は腕の見せ所。
いろんな考え方がありそうです(既に本スレでも示されていますが)。

35 :132人目の素数さん:2018/10/13(土) 15:09:38.13 ID:O/TKH3xV

高木寛通先生は、大学への数学の宿題解答者だったみたいだ。
数学少年?

36 :132人目の素数さん:2018/10/13(土) 15:12:12.90 ID:IDEhZSRY

>>32
> 皆数学少年じゃったのじゃよ。
そういえば広中先生も京大なんだよなぁ ……
SSS(新数学者集団)とかの話とか、なんか載ってる本とかない?

自分は東日本なんだけど、遠山さんが東大中退だったりするので、
いまいち「東京」って、狭苦しい感じがある。京都って、数学に
向いてる土地柄なのかもしれない、と思って興味があるんだよ。

37 :132人目の素数さん:2018/10/13(土) 15:14:48.59 ID:IDEhZSRY

>>35
そういえば阿部寛も数学少年だったらしいぞ(笑)

38 :132人目の素数さん:2018/10/13(土) 16:58:20.46 ID:83u0ux+X

ロシアの謎の高校生向け数学物理雑誌、Kvant、レベル高いで。
将来の数学者発掘が目的。ドリンフェルトも愛読???

39 :132人目の素数さん:2018/10/13(土) 18:03:14.86 ID:IDEhZSRY

>>38
いや、面白いのは分かるし、たぶん問題の意味もわかるだろうと
思う(数学は世界の共通言語だ)んだけど、
ロシア語とかハンガリー語とかで解答を書けって言われたら、
ちょっと退く部分はある。
まぁ、「やれ」と言われりゃ やらんでもないけど、
なんかしらコンピュータ言語とかに落としこんで
貰えれば、そのほうが楽なような気がする(笑)。

43 :132人目の素数さん:2018/10/14(日) 12:56:31.65 ID:ZGDKsTF8

IMOはレベル高いのおーーー
谷山ー志村予想のテイラー先生も出場者だったのか。
ピーター ショアもそうらしい。

47 :Mr.Moto:2018/10/14(日) 21:20:04.78 ID:wzFFiQRe

>>40
> はっきり言おう、糞であると。
いや、問題2はともかくも、
問題1は けっこう深いぞ?
あれ、じつは構文解析のアルゴリズムの
計算量とかと関連してくる。
単純に解だけ示すんなら、確かに
「文字通り30秒、頭の中だけで解ける難易度」では
あるのだが、「だったら、なんで自然数限定なのか?」
(べつに実数まで拡張しても問題はあるまい?)とか
「点で接している複数の N 角形を認めるかどうか?
その場合の『面積』を、どう定義するか?」とか、
考えどころは ありそうな気はする。それを考えた上で
「エレガントな解答」を出そうと思うと、
それほど簡単な話ではなかろうと思うのだが、どうか。

49 :132人目の素数さん:2018/10/15(月) 08:33:06.32 ID:L9PKARy1

>>48
> どのように実数へ拡張しますか?
いや、これは単なる例えとして言ってみただけで、
やっても面白くないと思う。
むしろ、出題者の小谷 善行さんは情報工学がご専門なので
有限組合せ問題として考えるのが本筋かな、と。
たとえば、任意の長方形 m × n があったとして、
それに内接する N 角形があったときの最大の N は
いくつかとか、その場合の面積はいくつかとか、
そのあたりの考え方の問題は面白いんじゃないかな、と。
ただ、それをやるとコンピュータによる力業になって
しまいそうなので、エレ解の趣旨から外れる。
問題自体は、もともとプログラミングのほうで
チェッカーボードを使ったパズルがあり、
それがパリティを利用しているので、
「あぁ、それだな」と思った。
それで、ちょっと発展させて、フラクタル図形
とかに向かう方向で、面白い性質が出てくるんじゃ
ないかな、と。あるいは、「1 × 1 の正方形を
辺で接続したときに、頂点の個数と面積と図形の
関係を考える」とか。

53 :Mb:2018/10/15(月) 15:56:09.92 ID:L9PKARy1

言っとくけど、うちの馬鹿(Mr.Moto)は三味線弾いてるっつーか、
「ヒントとか出しているようで、じつは引っ掛け」とかだから、
信用しないように。
「もっと困れ」(by 横井 庄一)じゃないけど、
「もっと苦しめ」という助言も上のほうから あったので、
せいぜい苦しんでくれ。

55 :132人目の素数さん:2018/10/16(火) 01:15:32.58 ID:5DYkLdwz

出題1
 解があるNはすぐ絞れますが、そのあとが問題ですねぇ…

>>53
「横井庄一のサバイバル極意書 〜 もっと困れ!」小学館 Be-pal books (1984/Jan)
 181p.絶版

71 :132人目の素数さん:2018/10/18(木) 11:04:10.73 ID:ajxP7QxG

1月号のICMレポが楽しみじゃあ。
各種賞受賞者の数オリ出場歴もたのみまっせ!!

71 :132人目の素数さん:2018/10/18(木) 11:04:10.73 ID:ajxP7QxG

1月号のICMレポが楽しみじゃあ。
各種賞受賞者の数オリ出場歴もたのみまっせ!!

117 :132人目の素数さん:2018/11/10(土) 23:20:37.94 ID:0LaPCkg7

>>106
原点O(0,0) から P(x,y) までの距離の2乗は
 x^2 + y^2 = (a cosθ + b sinθ)^2 + (c cosθ + d sinθ)^2
= (aa+bb+cc+dd)/2 + (aa+cc-bb-dd)/2 cos(2θ) + (ab+cd) sin(2θ)
= D’・cos(2θ+α) + E’,

原点Oから最も近い点P_min と最も遠い点P_max は θ が 90°ずれている。
と同時に OPmin ⊥ OPmax も成り立つ。

番外問題 焦点はOPmax の方向にある。

177 :代弁しているのか?:2018/12/01(土) 20:38:59.57 ID:wDltouXA

金さん いいかげんにしてください。

293 :132人目の素数さん:2019/02/22(金) 19:45:58.44 ID:5yozgAif

45+3φ

301 :132人目の素数さん:2019/04/09(火) 23:37:53.05 ID:daZcPnQY

>>299
いい時間にやるねえ水戸黄門
ファンが多いんだろうなあ

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